8 septembre 2010

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Une « vie brève » de Max Dehn

Michèle Audin

Mathématicienne et oulipienne (page web)

Une « vie brève », c’est une courte biographie. On peut envisager différentes vies brèves d’une même personne. En voici une de Max Dehn, un remarquable mathématicien, qui fut le premier à résoudre un des problèmes de Hilbert, qui sema beaucoup d’idées nouvelles en topologie et en théorie des groupes, et qui dut fuir l’Allemagne nazie.

En 1948, le mathématicien allemand Max Dehn, alors âgé de 70 ans, refusa de redevenir membre de la DMV (Société mathématique allemande), en ces termes [1]


Je n’ai aucune raison de penser que cette association agira à l’avenir autrement qu’elle l’a fait en 1935. Je crains qu’elle ne résiste pas, une fois encore, à des pressions extérieures. [...] Qu’elle ne se soit pas dissoute, qu’un nombre important de ses membres ne l’ait pas quittée, voilà ce qui me conduit à cette attitude négative. Je n’ai pas peur que la DMV exclue à nouveau ses membres juifs, mais la prochaine fois ce sera peut-être des prétendus communistes, anarchistes, ou personnes de couleur.

En 1900, le mathématicien allemand Max Dehn, alors âgé de 22 ans, résolut le « troisième problème de Hilbert » (voir ci-dessous).

Et entre temps ?

Reprenons brièvement le fil chronologique de la vie de Max Dehn, né en 1878.

1. Dans les années 1910—1912, Max Dehn a étudié des problèmes qui, depuis, sont très importants en théorie des groupes [2].

2. En 1915, Max Dehn s’est engagé et a combattu jusqu’en 1918. Il a été blessé et a été décoré de l’Ehrenkreuz [3].

3. Après la guerre, il a repris sa vie mathématique et ses centres d’intérêt en théorie des groupes et en topologie.

4. Son séminaire à l’Université de Francfort, sur les mathématiques et leur histoire, dans les années 1920, a profondément marqué une génération de mathématiciens [4].

5. En 1935, il a été démis de ses fonctions par l’Allemagne nazie, en application de sa législation antisémite [5].

6. En 1939, il a fini par fuir son pays, espérant obtenir un poste en Norvège, puis, ce pays occupé par l’Allemagne, il a gagné les États-Unis via la Finlande, la Russie, le transsibérien et le Japon.

7. Aux États-Unis, il eut beaucoup de mal à obtenir un poste, mais finit par en trouver un en 1944, dans le petit College de Black Mountain, en Caroline du Nord, où il fut le premier professeur de mathématiques et enseigna aussi la philosophie. Si le poste n’était certes pas à la hauteur de ses qualités de mathématicien, il semble que Max Dehn ait été heureux à Black Mountain.

8. C’est peu après avoir pris sa retraite, à Black Mountain, que Max Dehn est mort en 1952.

Des objets

Plusieurs objets mathématiques portent aujourd’hui son nom, par ordre alphabétique

  • algorithme de Dehn
  • chirurgie de Dehn
  • inégalités de Dehn-Sommerville
  • invariant de Dehn (voir ci-dessous)
  • lemme de Dehn
  • twist de Dehn

et évoquent des notions fondamentales de topologie, en particulier en dimension 3 [6], de théorie des nœuds et de théorie des groupes. Notons en particulier le cas des twists de Dehn, qui sont des transformations des surfaces abondamment utilisées de nos jours, bien plus qu’au temps où il les a inventés.

Des résultats remarquables qu’il a obtenus et des problèmes sur lesquels il a travaillé, retenons, pour cet article et pour les lecteurs d’Images des mathématiques, la résolution du troisième problème de Hilbert.

Le troisième problème de Hilbert

David Hilbert avait, lors du Congrès international de mathématiques de Paris, en 1900, décliné une liste de vingt-trois problèmes [7]. Celui dont il est question ici est le troisième de cette liste. Il fut aussi le premier à être résolu, dès 1900. La formulation en est simple.

Il s’agit de découper un polyèdre (comme avec un couteau, le long de plans) et de ré-assembler les morceaux pour former un autre polyèdre. Le nouveau polyèdre a, bien sûr, le même volume que celui dont on est parti. La question est, étant donnés deux polyèdres de même volume, de savoir si on peut passer de l’un à l’autre par cette opération « découper-assembler ».

Par exemple, peut-on découper un cube et assembler les morceaux de façon à former un tétraèdre régulier de même volume ?

La réponse donnée par Max Dehn est « non, on ne peut pas ».

En mathématiques, une telle affirmation (négation, dans ce cas) ne signifie pas « je ne peux pas », mais bien « aussi malin serez-vous, autant de temps y passerez-vous, vous n’y arriverez pas parce que ce n’est pas possible ». On dit souvent que ce problème était le plus facile de toute la liste de Hilbert, mais ce n’était pas si évident que ça. D’autant plus que, si on remplace les polyèdres par des polygones, la réponse est « oui, on peut » et plus précisément « si deux polygones ont la même surface, on peut découper l’un et assembler les morceaux de façon à obtenir l’autre » [8]. Ici, c’est avec des ciseaux qu’on découpe.

Le cas des polygones.

Démontrons, par exemple, qu’un rectangle peut être découpé-assemblé en n’importe quel autre rectangle de la même surface. Les phrases qui suivent expliquent ce que l’on voit sur la figure.

On dessine le rectangle $ABCD$. Sur le « grand côté » $BC$, on place un point $M$, puis on trace $AM$ et la perpendiculaire à $AM$ passant par $M$. Si $M$ a été choisi convenablement, cette droite coupe le segment $CD$ en un point $N$. La parallèle à $BC$ passant par $N$ coupe $AB$ en $P$. On projette $P$ orthogonalement sur $AM$ en $Q$. Sur la figure, on a dessiné les angles égaux (noter que les angles marqués d’un arc de cercle et ceux marqués de deux arcs de cercle ont une somme égale à un angle droit). Ainsi on a découpé le rectangle en deux triangles et deux quadrilatères, que montre la deuxième figure. La troisième figure montre comment les ré-assembler pour faire un autre rectangle --- c’est bien un rectangle puisque il y a quatre angles droits --- de même surface bien sûr, et dont l’un des côtés est $AM$. En choisissant convenablement le point $M$, on peut reconstituer ainsi tout [9] rectangle de même surface que le premier.

Pour démontrer de même que la réponse est « oui » pour deux polygones plus généraux, de même surface, on commence par découper les polygones en triangles, puis on remarque qu’un triangle est la moitié d’un rectangle, ce qui permet d’utiliser l’argument sur les rectangles.

L’invariant de Dehn en dimension 3.

Max Dehn a démontré que l’analogue en dimension 3 n’était pas vrai en inventant un invariant, un objet mathématique qui ne change pas lorsqu’on découpe et ré-assemble un polyèdre... et qui n’est pas le même pour le cube et pour le tétraèdre. Cet invariant est un objet un peu plus compliqué qu’un nombre [10] et qui tient compte des longueurs des arêtes et des angles entre les plans qui se rencontrent en ces arêtes. Pour un cube, cet invariant est nul, pour un tétraèdre il ne l’est pas.

P.S. :

La photographie de Max Dehn qui sert de logo à cet article vient de cette page (sur un site de la ville de Francfort).

Je remercie Pierre de la Harpe pour ses commentaires qui m’ont permis d’améliorer une première version de cet article.

Cet article a été relu, pour Images des Mathématiques, par Ilies Zidane, Barbara Schapira, « Walter » et Gérard Besson, que je remercie pour leur lecture attentive, les commentaires qu’ils m’ont faits, les coquilles qu’ils m’ont signalées. C’est grâce à eux que cet article est lisible.

Notes

[1Cette lettre est reproduite dans Mathematicians fleeing from Nazi Germany : individual fates and global impact, de Reinhard Siegmund-Schultze, un livre consacré à l’émigration des mathématiciens qui fuirent l’Allemagne nazie. L’extrait publié ici est une double traduction, j’assume la responsabilité des éventuelles maladresses.

[2Le centenaire de ces travaux a été célébré par Pierre de la Harpe dans un superbe article paru dans la Gazette des mathématiciens, auquel je renvoie volontiers : cet article, assez long et très détaillé, pourra intéresser certains de nos lecteurs les plus savants. Beaucoup d’autres références se trouvent dans ce billet, toujours de Pierre de la Harpe.

[3Une décoration militaire, la « croix d’honneur ». Pour écrire ce portrait, j’ai aussi utilisé un article (en allemand) de Burde, Schwarz et Wolfart.

[4À ce séminaire, participaient notamment Ernst Hellinger, et Carl-Ludwig Siegel. Siegel et André Weil, qui assista aussi à certaines séances de ce séminaire, lui ont rendu hommage dans leurs souvenirs.

[5Seulement en 1935, parce qu’il avait été décoré, voir le point 2.

[6Max Dehn fut aussi un des premiers d’une longue lignée de mathématiciens à essayer de démontrer la conjecture de Poincaré, et sans doute le premier à en proposer une démonstration à un journal (il la retira lorsqu’il s’aperçut qu’elle était incomplète).

[7Au sujet des problèmes de Hilbert, on peut lire cet article.

[8On appelle souvent ce résultat le théorème de Bolyai-Gerwein-Wallace... et certains disent qu’il était connu d’Euclide.

[9Pour les puristes : c’est vrai, le point $M$ ne peut pas être exactement n’importe où sur le côté $BC$ puisque la perpendiculaire doit couper le segment $CD$, mais l’essentiel est que l’on puisse réaliser le carré.

[10Pour les lecteurs très avancés, cet invariant vit dans $\mathbb{R}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}/\pi\mathbb{Z}$. On l’obtient en sommant (sur toutes les arêtes) les $\ell\otimes\theta$, où $\ell$ est la longueur d’une arête et $\theta$ l’angle dièdre des deux faces se rencontrant le long de cette arête. Cet invariant est « additif ».

Affiliation de l'auteur

Michèle Audin : Université de Strasbourg et Ouvroir de littérature potentielle

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Michèle Audin, « Une « vie brève » de Max Dehn »Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Une-vie-breve-de-Max-Dehn.html

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