14 janvier 2010

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Processus de croissance

Benoît Kloeckner

Maître de conférences, Université de Grenoble (page web)

Les processus de croissance sont une catégorie particulière de
procédés aléatoires de construction de formes géométriques. Je ne vais parler
ici que de certains cas particuliers, introduits je crois par Daniel
Richardson en 1973.

Présentation

L’idée est la suivante : on se place sur un damier infini, on choisit
un nombre $p$ entre $0$ et $1$ et on se munit d’une pièce biaisée, qui donne pile
avec probabilité $p$. On commence avec une case du damier noire et
toutes les autres blanches. Pour chacune des quatre cases adjacentes à la case noire,
on fait un jet de notre pièce ; si le résultat est pile, on colorie la case en noir.

On continue ainsi, en jetant à chaque étape la pièce pour chaque case blanche adjacente
à (au moins) une case noire et en coloriant en noir celles pour lesquelles on obtient pile.

Au fur et à mesure qu’on continue, on colorie peu à peu tout le damier. On se pose
la question amusante suivante : quelle forme prend la partie coloriée en noir ? Ce qui nous
intéresse ici n’est pas la taille, on peut par exemple imaginer qu’on regarde vers le damier depuis un point
de plus en plus éloigné, de façon à toujours voir la partie noire à peu près de la même taille.

Voici quelques images qu’on obtient ainsi.

10 itérations
$p=20\,\%$ $p=50\,\%$ $p=80\,\%$
PNG - 5.4 ko
PNG - 5.7 ko
PNG - 4.1 ko

$\quad$

20 itérations
$p=20\,\%$ $p=50\,\%$ $p=80\,\%$
PNG - 6.1 ko
PNG - 5.8 ko
PNG - 4.5 ko

$\quad$

50 itérations
$p=20\,\%$ $p=50\,\%$ $p=80\,\%$
PNG - 6.5 ko
PNG - 6.9 ko
PNG - 5 ko

$\quad$

100 itérations
$p=20\,\%$ $p=50\,\%$ $p=80\,\%$
PNG - 7.8 ko
PNG - 7.7 ko
PNG - 5 ko

$\quad$

Et enfin, pour $p=50\,\%$, ce qu’on peut obtenir avec 500 itérations.

PNG - 7.1 ko

$\quad$

Un résultat surprenant et une question ouverte

Le résultat que démontre Richardson peut paraître surprenant : la forme
construite par ce processus aléatoire converge (presque sûrement) vers une
« forme limite » qui dépend de $p$, mais qui est déterministe et pas aléatoire.
C’est-à-dire
que les lancers de pièces finissent par compter assez peu, et que si on recommence
plusieurs fois le processus avec une même valeur de $p$ et un grand nombre d’étapes,
les formes obtenues se ressembleront très probablement beaucoup (de loin).

On ne sait pas, à l’heure actuelle, décrire la forme limite en fonction de $p$. Quelques
informations ont été obtenues quand $p$ est proche de $1$, mais on ne sait à ma
connaissance presque rien sur la forme limite quand $p$ tend vers $0$. Richardson avait
conjecturé qu’elle tendait vers un disque, mais des simulations numériques semblent indiquer que
la vitesse de croissance est un peu plus faible dans la direction des diagonales que dans les
directions horizontale et verticale.

Plein de variantes

On peut considérer de nombreuses variantes de ce problème, voir par exemple les sites
web de Régine Marchand et Olivier Garet.
Par exemple, on peut simplement pratiquer le processus en dimension plus grande (essentiellement,
tout ce que j’ai dit plus haut reste vrai) ce qui donne par exemple l’image suivante
($p=20\,\%$, 60 itérations) :

PNG - 733.8 ko

Affiliation de l'auteur

Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Benoît Kloeckner, « Processus de croissance »Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Processus-de-croissance.html

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