8 juin 2015

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Enigme probabiliste

Les cravates de Maurice Kraitchik

Dénouer l’intrigue !

Philippe Gay

Ingénieur Télécoms Recherche et Développement

Si vous avez déjà vu une cravate (on en offre de moins en moins), vous pourrez faire face à une subtilité mathématique imaginée par le mathématicien belge Maurice Kraitchik (1882 – 1957).
Dans un premier temps on présentera la notion d’espérance en probabilités, puis on analysera le jeu imaginé par ce vulgarisateur qui proposa une solution déroutante. Et on terminera en mettant en lumière un tirage au sort original et respectant la formulation de Kraitchik [1].

Espérance mathématique

Il n’est pas possible de maîtriser le hasard. Toutefois quelques outils simples existent et sont couramment utilisés par les mathématiciens, mais aussi les compagnies de jeux, d’assurances et les ingénieurs. Le plus connu et le plus simple s’appelle « espérance mathématique » [2].

Avant de le définir complètement, illustrons son emploi à l’aide d’un jeu que tout le monde connaît : Pile ou Face. Imaginons la situation suivante :

  • Si Pile sort, Maurice gagne 1 € ;
  • Si Face sort, il perd 1 €.

Impossible de savoir s’il va gagner au prochain coup ! Mais que se passerait-il s’il jouait souvent ? Il y aurait à peu près autant de Piles que de Faces [3].

Maurice veut connaître le gain moyen d’un tirage :

  • il additionne les gains et pertes possibles ;
  • et il divise par le nombre de cas (ici $2$). Ce gain moyen est justement l’espérance mathématique $E$ de ce jeu :

\[ E = \frac{(+1 \: €) + (-1 \: €)}{2} = 0 \: €. \]

Ici on constate que cette moyenne est nulle : on dit que le pari est équitable. En effet, sur un grand nombre de paris, le gain moyen auquel il faut s’attendre est nul.

On peut aussi envisager des paris inéquitables. Par exemple :

  • Si Pile sort, Maurice gagne $2$ € ;
  • Si Face sort, il perd $1$ €.

On perçoit que le jeu est plus intéressant pour Maurice, même si l’on ignore le résultat de chaque tirage au sort. À nouveau, faisons une moyenne sur un grand nombre de tirages. On tendrait vers un nombre à peu près égal de Piles et de Faces [4]. Le gain moyen est alors de 0,50 € par tirage :

\[ E =\frac{(+2 €) + (-1 €)}{2} = 0,50 \: €. \]

Le pari devient avantageux. Maurice a alors intérêt à jouer. Et même le plus souvent possible !... si du moins il dispose de fonds importants au cas où il verrait de longues séries de Faces, rares mais parfois monstrueuses [5]. On soumet le même jeu à Norbert qui n’a qu’un malheureux euro en poche ; par prudence il renonce au pari et va dépenser sa pièce en quelque chose de plus sûr : un morceau de pain à la boulangerie la plus proche [6] !

Les cravates

Ce jeu a été imaginé par Kraitchik et semble aussi simple que Pile ou Face [7]. Sébastien et Tanguy sortent d’un magasin, où chacun y a acheté une cravate.

Ils rencontrent Véronique qui leur propose le jeu suivant :

  • Si Sébastien a la cravate la plus courte, il gagne celle de Tanguy ;
  • Si Tanguy a la cravate la plus courte, il gagne celle de Sébastien.

On suppose que ni Sébastien ni Tanguy ne connaissaient les longueurs des cravates choisies et qu’il y a une parfaite égalité entre les deux joueurs.

Sébastien tient le raisonnement suivant :

  • "Chaque cravate du magasin avait une longueur précise ;
  • Chaque cravate avait autant de chance d’être choisie qu’une autre ;
  • Pour chaque client qui achète une cravate, celle-ci sera d’une longueur moyenne $L_{moyen}$ ;
  • Pour mon adversaire, Tanguy, et moi, cette longueur moyenne $L_{moyen}$ est la même."

Sébastien définit ainsi l’espérance mathématique de ce jeu qui est ici la longueur moyenne des cravates.

Il termine en se disant :

  • "J’ai donc autant de chances de gagner (toujours en moyenne) une cravate de longueur $L_{moyen}$ que d’en perdre ;
  • Le gain moyen est nul. Personne n’est avantagé."

Selon Sébastien, l’espérance mathématique $E$ de ce jeu s’exprime en centimètres et serait nulle :

\[E = \frac{(+L_{moyen}) + (-L_{moyen})}{2} = 0 \: cm.\]

Mais Tanguy tient un autre raisonnement :

  • "Ma cravate a pour longueur $L$ ;
  • Celle de mon adversaire est de longueur $L'$ ;
  • Si ma cravate est la plus longue, je perds une cravate de longueur $L$ ;
  • Si elle est la plus courte je gagne une cravate de longueur $L'$ plus grande que $L$ ;
  • Il y a donc deux cas dont je peux faire la moyenne qui est positive."

Selon Tanguy, l’espérance mathématique $E$ de ce jeu est positive. Il aurait intérêt à échanger :

\[ E = \frac{(-L) + (+L')}{2} > 0 \: cm. \]

Les deux raisonnements aboutissent à deux conclusions différentes !

Pouvez-vous départager nos deux apprentis mathématiciens ?

Démonstration par l’absurde

Le défaut le plus flagrant provient de Tanguy. Véronique utilise un raisonnement par l’absurde. Une telle démonstration suppose que l’on veut démontrer qu’une affirmation, disons A, est Fausse. Pour cela on opère en trois étapes :

  • On suppose dans un premier temps que A est Vrai ;
  • On mène un raisonnement, en se fondant sur A, qui aboutit à une conclusion, disons B, qui est manifestement Fausse ;
  • Sur la base de ce constat, on déduit que A ne saurait être Vrai et est donc Faux.

Ce type de raisonnement est très puissant et dépasse le cadre des mathématiques (on imagine par exemple Sherlock Holmes ou Maigret invalidant un alibi !). Comme restriction, il faut que A ou B ne puissent pas être à la fois Vrai et Faux, ce qui est vérifié pour beaucoup d’objets mathématiques [8].

Véronique définit deux espérances :

  • $E(S)$ : le gain moyen vu par Sébastien (ce gain peut se révéler négatif si Sébastien, en moyenne, perd à ce jeu) ;
  • $E(T)$ : idem pour Tanguy.

Il est important de voir que notre jeu est symétrique : ce qui est gagné par l’un est perdu par l’autre :

\[E(S) = - E(T).\]

Ainsi, il ne reste plus à Véronique qu’à bâtir son raisonnement par l’absurde :

  • Véronique suppose dans un premier temps que le raisonnement de Tanguy est Vrai : il aurait un gain que l’on peut noter $E(T) > 0$ ;
  • elle constate que par ce raisonnement, Sébastien aurait lui aussi un gain que l’on peut noter $E(S) > 0$ ;
  • ainsi, les espérances de gain des deux joueurs sont $E(S)$ et $E(T)$, tous deux égaux et positifs ;
  • mais ce que l’un gagne est ce que perd l’autre, soit $E(T) = - E(S)$ ;
  • Véronique constate qu’il est impossible d’avoir $E(T)$ et $E(S)$ à la fois strictement positifs et de signes contraires ;
  • la supposition initiale aboutit à une situation impossible, donc le raisonnement de Tanguy est Faux et a une erreur quelque part [9].

Matrice de gains

Néanmoins, Véronique n’est pas totalement d’accord avec Sébastien [10] : il a commis une légère erreur d’interprétation.

Pour comprendre cela, il faut d’abord définir un tableau de gains. On analyse toutes les combinaisons possibles de choix des deux joueurs [11]. En colonnes, figurent tous les cas possibles qui s’offrent à l’un des joueurs. En lignes, celles qui se présentent au second. A l’intersection de chaque ligne et de chaque colonne, figurent les gains et pertes des deux joueurs pour la paire de cas considérés.

Imaginons d’abord un exemple le plus simple possible : un seul choix pour chacun des deux joueurs. Le jeu idéal face à votre pire ennemi serait le suivant (voyons grand !) :

  • vous n’avez que le cas 1 qui s’offre à vous et vous gagnez $1 \:000 \:000 \: €$ ;
  • et pour votre adversaire, que le cas A et il perd $1 \:000 \:000 \: €$.

Le tableau des gains est :

Vous \ Lui Cas A
Cas 1 $(+1 \:000 \:000 \: €, \: -1 \:000 \:000 \: €)$

Pas de choix complexe, pas de probabilités, pas de soucis... Avec un ami, le jeu idéal serait plutôt :

Vous\ Lui Cas A
Cas 1 $(+1 \:000 \:000 \: €, \: +1 \:000 \:000 \: €)$

Le premier jeu est gagnant-perdant  ; le second gagnant-gagnant. Le premier est à somme nulle, puisque ce que vous gagnez égale ce que votre adversaire perd ; chaque case (ici, il n’y en a qu’une) dispose de deux termes dont la somme est zéro.

Véronique utilise cette méthode et illustre son raisonnement sur un exemple : nos deux amis n’ont que $5$ choix de tailles possibles, de $101 \: cm$ à $105 \: cm$. Tous ces choix sont supposés équiprobables. La matrice de gains imaginée par Véronique est alors la suivante : en tête de colonne elle place la longueur de la cravate achetée par Tanguy, en tête de ligne la longueur de celle de Sébastien, puis dans chaque case du tableau, elle place un couple de nombres correspondant aux gains respectifs de Sébastien et Tanguy. Par exemple si Tanguy a acheté une cravate de longueur $104 \: cm$ et Sébastien une cravate de longueur $102 \: cm$, elle place à l’intersection de la colonne libellée $104 \: cm$ et de la ligne libellée $102 \: cm$ le couple $(+104, \: -104)$, qui signifie que Sébastien gagne une cravate de longueur $104 \: cm$ et que Sébastien la perd. Véronique obtient cette matrice :

Sébastien \ Tanguy 101 cm 102 cm 103 cm 104 cm 105 cm
101 cm (0,0) (+102, +102) (+103, -103) (+104, -104) (+105, -105)
102 cm (-102, +102) (0,0) (+103, -103) (+104, -104) (+105, -105)
103 cm (-103, +103) (-103, +103) (0,0) (+104, -104) (+105, -105)
104 cm (-104, +104) (-104, +104) (-104, +104) (0,0) (+105, -105)
105 cm (-105, +105) (-105, +105) (-105, +105) (-105, +105) (0,0)

Dans chaque cas, la somme des termes entre parenthèses est nulle. On a donc un jeu à somme nulle. Ce tableau peut être simplifié en ne prenant par exemple que les gains et pertes vus par Sébastien :

Sébastien \ Tanguy 101 cm 102 cm 103 cm 104 cm 105 cm
101 cm 0 +102 +103 +104 +105
102 cm -102 0 +103 +104 +105
103 cm -103 -103 0 +104 +105
104 cm -104 -104 -104 0 +105
105 cm -105 -105 -105 -105 0

La lecture de cette matrice est riche d’enseignements. Tous les cas étant équiprobables, on vérifie que :

  • la longueur moyenne de la cravate choisie par Sébastien est $E(L_S) = 103 \: cm $ (il faut lire la première colonne du tableau) ;
  • de même pour Tanguy : $E(L_T) = 103 \: cm $ (on lit la première ligne de ce tableau).

Jusque-là tout va bien. On retrouve les grandes lignes du raisonnement du paragraphe précédent.

Allons plus loin. Si Sébastien gagne, il ne faut plus regarder que la partie triangulaire supérieure de la matrice :

Sébastien \ Tanguy 101 cm 102 cm 103 cm 104 cm 105 cm
101 cm +102 +103 +104 +105
102 cm +103 +104 +105
103 cm +104 +105
104 cm +105
105 cm

On dispose de 10 valeurs dont la moyenne est $104\: cm$, mais cette situation se produit quand Sébastien gagne, ce qui implique qu’il avait avant le tirage au sort une cravate courte. Pour l’analyser, on bâtit un tableau donnant la longueur de la cravate qui lui a permis de gagner au jeu [12] et l’on obtient :

Sébastien \ Tanguy 101 cm 102 cm 103 cm 104 cm 105 cm
101 cm +101 +101, +101 +101
102 cm +102 +102 +102
103 cm +103 +103
104 cm +104
105 cm

La moyenne des termes est $102 \: cm$. On peut remarquer que la somme des espérances des mises et des gains, en cas de gain, est bien égale à deux fois la longueur moyenne, soit : $102 + 104 = 2 \times 103 \: cm$. Autrement dit, si Sébastien gagne, il aura deux cravates dont la longueur moyenne est effectivement égale à la longueur moyenne du stock de cravates, mais pas pour la raison qu’il imaginait [13] !

Pour Tanguy, la situation symétrique existe et on obtient les mêmes valeurs numériques.

Une erreur de tirage au sort

Un lecteur attentif peut dire :

  • On a deux démonstrations contradictoires ;
  • Donc l’une est fausse ;
  • Mais faut-il passer par une troisième pour déterminer si un calcul d’espérance est juste ?

On peut se contenter de la remarque de Véronique, dire que la démonstration de Tanguy est trop complexe, ou bâtir une matrice de gains, mais tout ceci n’est pas totalement satisfaisant.

Plus directement, où est l’erreur de Tanguy dans sa construction intellectuelle ?

Il existe d’autres analyses plus complètes. Par exemple, Jean-Paul Delahaye expose le fait que le calcul de Tanguy est mal établi. C’est exact. Il faut faire le calcul pour chaque cravate choisie par les deux joueurs et à chaque fois, on n’a aucune garantie que l’on ait équiprobabilité entre les deux cas « plus court » et « plus long ». C’est un calcul subtil mettant en jeu la matrice des gains vue plus haut et que n’a pas fait Tanguy.

En fait la formule proposée par Tanguy est parfaitement licite… pour un autre jeu !

Tanguy sort d’un magasin avec une cravate et rencontre Wendy qui propose un jeu à peine différent :

  • Wendy examine la cravate ; elle seule en connaît la longueur $L$ ;
  • Puis elle propose un lot de cravates à Sébastien :
    • la moitié de longueur $L_-$, plus courtes que celle de Tanguy ;
    • l’autre moitié de longueur $L_+$, plus longues ;
  • Sébastien fait son choix sans toutefois pouvoir connaître les longueurs ; on suppose qu’il a autant de chances de choisir chacune des cravates ;
  • une fois le choix fait, on compare les deux cravates :
    • Si Sébastien a choisi une cravate plus courte, il gagne celle de Tanguy ;
    • Sinon, c’est Tanguy qui gagne celle de Sébastien .

Pour Tanguy, deux cas sont à envisager :

  • Si Sébastien a choisi une cravate de longueur $L_+$, alors le gain de Tanguy sera $L' = L_+$ ;
  • Sinon sa perte sera $L$, c’est-à-dire que son gain sera de $-L$.

Ces deux cas sont équiprobables par l’entremise de Wendy. L’espérance de gain de Tanguy est :

\[ E_T = \frac{L_+-L}{2} > 0 \: cm. \]

De façon analogue pour Sébastien :

\[ E_S = \frac{L-L_+}{2} < 0 \: cm. \]

On constate que les espérances des deux joueurs est la même valeur au signe près : $ E_T = - E_S $. On peut résumer cette situation en disant que ce que gagne l’un est ce que l’autre perd.

La matrice des gains est :

Tanguy \ Sébastien Option 1 Option 2
Pas de choix $(L_+,- L_+)$ $(-L,+L)$

On voit toutefois une forme de dissymétrie. L’un des joueurs est favorisé :

  • Tanguy peut gagner une cravate longue et ne peut perdre qu’une moyenne ;
  • Mais Sébastien ne peut que gagner une cravate de longueur moyenne et perdre une cravate longue.

Wendy a réussi à glisser un biais dans les gains : en terme de longueurs, ce jeu favorise Tanguy.

On peut aussi constater que ce nouveau tirage bâtit des variables aléatoires dépendantes. La cravate de Sébastien a une longueur qui dépend, au moins en partie, de celle choisie par Tanguy :

  • par exemple si la cravate de Tanguy est courte, il reste une chance sur deux que celle de Sébastien le soit davantage ;
  • et réciproquement, si celle de Tanguy est longue, celle de Sébastien garde une chance sur deux de l’être davantage.

Ceci n’est pas possible avec le protocole de Véronique.

Des variables dépendantes peuvent parfois donner des situations déconcertantes [14].

Conclusion

L’histoire imaginée par Maurice Kraitchik nous invite à réfléchir sur deux notions : le processus de tirage au sort et l’espérance mathématique. Les deux sont intimement liées. Une modification minime de la procédure du tirage et le calcul de l’espérance peut changer notablement.

Maintenant, style ou couleurs, il existe d’autres critères que la longueur pour choisir une cravate !

P.S. :

La rédaction d’Images des Maths et l’auteur remercient les relecteurs Laurent Bétermin, flandre et FlavienK pour leur lecture attentive et leurs commentaires enrichissants. L’auteur remercie également François Sauvageot et Patrick Popescu-Pampu pour leur soutien constant depuis le début.

Notes

[1« La mathématique des jeux ou Récréations mathématiques », Maurice Kraitchik, Paris, Vuibert, 1930.

[2On peut aussi voir à ce sujet « L’espérance de vie » de François Sauvageot.

[3Pour être précis, plus on joue et plus le rapport $\frac{nombre \: de \: tirages \: Pile}{nombre \: de \: tirages \: Face}$ se rapproche de $1$. Il s’agit d’une application d’un théorème couramment appelé Loi des grands nombres : voir ici ou . Cette loi a évolué depuis que Jacques Bernoulli (1654-1705) en a établi le premier modèle vers 1690. De nos jours, on utilise généralement deux formes plus précises, appelées Loi faible et Loi forte des grands nombres. Dans le texte, la version vue par Bernoulli ou la Loi faible suffisent.

[4Toujours la Loi des grands nombres.

[5Disposer de fonds est essentiel pour se lancer dans une longue série de jeux même a priori avantageux.
C’est souvent le cas aussi avec une compagnie d’assurance pour qui les tirages au sort sont constitués par les contrats, et le fonds par l’argent apporté par l’ensemble des assurés.
Parfois ce montage ne suffit pas : dans les années 1980, quelques échecs de mises en orbite de satellites (par la Navette et par Ariane) ont mis à mal les assureurs. Ils ont dû attendre plusieurs années pour se refaire ! Heureusement, ils avaient au préalable fait appel à des réassureurs (on peut les définir comme des assureurs pour assureurs). Bien leur en a pris !

[6Norbert n’a ni fonds ni réassureur pour l’aider à passer un éventuel cap difficile ! La vie est mal faite. Avec quelques gros billets en poche, il aurait eu toutes ses chances pour acheter la boulangerie !

[7Voir sur le même sujet la revue Tangente, n° 136, Septembre-octobre 2010, « Des cravates et des serpents » par P. Gay et É. Thomas.

[8Une erreur commune est souvent faite si B est Vrai : beaucoup déduisent alors que A est Vrai. On n’obtient qu’une simple vérification, mais pas une totale certitude. C’est bien pour cela que les vérifications sont souvent nombreuses.

[9Pour être complet, on peut affirmer que les espérances mathématiques disposent de propriétés intéressantes. Les plus importantes concernent la linéarité : par exemple, si on a deux variables aléatoires $X$ et $Y$ et deux constantes $a$ et $b$, on a :

\[E(a.X \: + \: b.Y) = a.E(X) + b.E(Y).\]

Ainsi, on pourrait utiliser la relation $E(S+T) = E(S) + E(T)$. On dit souvent : « La moyenne de la somme est la somme des moyennes ».

Dans des cas plus simples, il est parfois utile de noter que $E(a) = a$.

L’espérance est une somme de produits qui autorise ces manipulations.

Pour terminer, si $X$ et $Y$ sont indépendants :

\[E(X.Y) = E(X) . E(Y).\]

(Mais la réciproque de cette dernière propriété est fausse : l’égalité ne garantit pas l’indépendance de $X$ et $Y$.)

[10Elle a écouté les avis judicieux de François Sauvageot que nous remercions.

[11Il s’agit d’une méthode universelle. Pour les jeux, on analyse toutes les stratégies. S’il y a deux joueurs, on peut concevoir une matrice. Mais au-delà, cela devient plus difficile à analyser : pour trois joueurs il faudrait inscrire les gains dans un cube ; pour quatre joueurs dans un hyper cube ; ...

[12Ce tableau peut être appelé Matrice des mises, mais n’a pas de nom officiel.

[13Si Sébastien gagne, c’est avec une cravate plus courte, on dit que l’espérance de sa mise sachant qu’il a gagné est inférieure à la longueur moyenne. Mathématiquement on écrit :

\[E(L_S \: | \: gain) = 102 \: cm < 103 \: cm = L_{moyen} \]

et

\[E(L_S \: | \: perte) = 104 \: cm >103 \: cm = L_{moyen}.\]

On constate donc que les trois espérances $E(L_S)$, $E(L_S \: | \: gain)$ et $E(L_S \: | \: perte)$ sont distinctes. Le fait d’avoir une information (« Sébastien vient de gagner » ou « Tanguy vient de gagner ») modifie les probabilités et aussi les espérances mathématiques.
Il ne faut pas, ainsi que l’a fait Sébastien, confondre probabilités et probabilités conditionnelles.

[14Mais dans la vie courante, on constate bien des cas où cela ne soulève aucun problème de compréhension : les probabilités de verglas et de températures basses sont, comme chacun sait, fortement dépendantes.

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Pour citer cet article : Philippe Gay, « Les cravates de Maurice Kraitchik »Images des Mathématiques, CNRS, 2015.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Les-cravates-de-Maurice-Kraitchik.html

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