23 mars 2013

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Article en partenariat avec et

Le Nombre d’or

Fernando Corbalán

L’Institut Henri Poincaré et Images des Mathématiques ont uni leurs efforts pour superviser la réédition de la collection Le monde est mathématique,
publiée par RBA en partenariat avec Le Monde. En 40 ouvrages, cette collection de qualité, issue
d’un projet collectif de mathématiciens espagnols, vise à présenter,
à travers une grande variété de points de vue, de multiples facettes
des sciences mathématiques, sous un aspect historique, humain, social,
technique, culturel ...

Reprise et améliorée au niveau de la forme, cette nouvelle édition a été
entièrement lue et corrigée par l’équipe d’Images des Mathématiques ;
des préfaces et listes bibliographiques ont été ajoutées. Le Monde consacre un cahier spécial au lancement de cette collection présentée par Cédric Villani, qui en a écrit la préface générale.

Chaque semaine, à l’occasion de la sortie d’un nouveau numéro de la série, un extrait sélectionné sera présenté sur Images des Mathématiques. Il sera également accompagné du sommaire du livre et d’une invitation à prolonger votre lecture.

Extrait du Chapitre 1

"Les choses qui sont dotées
de proportions correctes réjouissent les sens".

Saint Thomas d’Aquin (1225-1274)

Que peuvent bien avoir en commun des phénomènes naturels aussi différents que
l’agencement des graines d’une fleur de tournesol, l’élégante spirale dessinée par
la coquille de certains mollusques et les bras de la Voie lactée, la galaxie qui nous
accueille ? Quelle règle géométrique d’une inégalable harmonie se cache dans
l’œuvre de grands artistes et architectes, de Vitruve à Le Corbusier en passant par
de Vinci et Salvador Dali ? Aussi incroyable que cela puisse paraître, la réponse à
ces deux questions est un simple nombre. Un nombre d’une humble apparence,
connu depuis l’Antiquité, qui apparaît continûment dans toutes les représentations
naturelles et artistiques, ce qui lui valut des appellations telles que « divine
proportion », « nombre d’or » ou encore « proportion d’or ». Reproduire ce nombre
à l’écrit est littéralement impossible, non pas parce qu’il est excessivement grand
(il est à peine supérieur à 1) mais parce qu’il est composé d’un nombre infini de
décimales, qui de surcroît ne suivent aucune règle. Bien que nous écartions sa
retranscription littérale, nous pouvons nous aider de sa formule arithmétique pour
mieux le connaître. Le nombre d’or devient ainsi bien plus maniable :

\[ \frac{1+\sqrt{5}}{2} \simeq 1,6180339887. \]

Plus loin dans ce même chapitre, nous verrons comment arriver à cette formule,
mais reconnaissons tout de même qu’à première vue la « divine proportion » ne
paraît pas trop impressionnante. À la vue de la racine de 5, un œil entraîné saurait
qu’il y a anguille sous roche. En effet, cette racine présente une série de propriétés
qui lui valurent le qualificatif peu aimable de nombre « irrationnel » – une classe
spéciale de nombres dont nous aurons l’occasion de reparler plus précisément.
À la recherche du caractère divin du nombre d’or, nous pouvons tenter de
l’approcher par une autre voie : celle de la géométrie. Il nous faut pour cela dessiner
un rectangle dont la mesure du grand côté vaut celle du petit multipliée par 1,618 ;
c’est-à-dire un rectangle dont la proportion des deux côtés est le nombre d’or (du
moins sa valeur approximative). Si nous le faisons correctement, nous devrions
arriver à un résultat similaire au suivant :

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Un rectangle qui répondrait à ces caractéristiques serait un « rectangle d’or ». À
première vue, il peut ressembler à un rectangle banal. Faisons cependant une petite
expérience avec deux cartes de crédit quelconques. Si nous disposons la première à
l’horizontale et la seconde à la verticale, et que nous les alignons selon leurs bases,
nous aurons ceci :

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En effet, si nous traçons la diagonale de la première carte et la prolongeons sur la
deuxième, aussi incroyable que cela paraisse, elle aboutit pile au sommet opposé de
cette dernière. Si nous répétons l’expérience avec deux livres de même format, en
particulier des manuels ou des livres de poche, il est fort probable que nous obtenions
le même résultat. Cette caractéristique est propre aux rectangles d’or de même taille.

Ainsi, de nombreux objets de forme rectangulaire qui font notre quotidien ont
été façonnés en fonction de la divine proportion. Simple hasard ? Peut-être. À moins
que les rectangles et les autres formes géométriques qui respectent cette proportion
ne soient, pour une raison ou pour une autre, particulièrement harmonieux. Si nous
misons sur cette dernière possibilité, nous serons amenés à fréquenter des noms
illustres de la peinture et de l’architecture, comme nous le verrons plus en détail au
chapitre 4. Ce n’est pas un hasard si la dénomination moderne du nombre d’or est
la lettre grecque phi ($\phi$) : c’est aussi l’initiale du nom de l’architecte classique par
excellence, le légendaire Phidias.

Un monde doré

L’encre a déjà abondamment coulé pour lever le voile sur le mystère que cache
le sourire le plus célèbre de l’histoire de l’art. Mais on peut aussi envisager une
solution géométrique à l’énigme. Voyons ce qui se passerait si nous superposions
plusieurs rectangles d’or sur le visage de la belle Joconde :

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Léonard de Vinci avait-il en tête la proportion d’or quand il réalisa son œuvre
maîtresse ? L’affirmer serait aventureux. Il serait moins risqué de se contenter de dire
que le génie florentin accordait une grande importance à la relation entre l’esthétique
et les mathématiques. Nous laisserons cette question de côté pour le moment.
Mais précisons tout de même que Léonard réalisa les illustrations d’une œuvre
au contenu purement mathématique, écrite par son ami Luca Pacioli et intitulée
De divina proportione, c’est-à-dire La Divine Proportion.

Aujourd’hui, De Vinci n’est plus le seul artiste dont l’œuvre laisse entrevoir les
diverses manifestations de la proportion d’or, que ce soit à travers le rapport des côtés
d’un rectangle ou dans des formes géométriques plus complexes. De nombreux
peintres ont fait appel après lui à ces fondements théoriques. En témoignent le
pointilliste Georges Seurat ou le préraphaélite Edward Burne-Jones. Salvador Dali,
quant à lui, réalisa avec sa toile La Cène une œuvre extraordinaire dans laquelle la
divine proportion joue un grand rôle. Il ne s’agit pas seulement des dimensions de
la toile, $268$ par $167$ cm, soit un rectangle d’or quasi parfait, mais surtout du monumental dodécaèdre qui préside la scène sacrée. Les solides réguliers qui comme
celui-là s’inscrivent parfaitement dans une sphère sont intimement liés au nombre
d’or, comme nous le verrons dans le troisième chapitre.

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La toile Une baignade à Asnières (1884) de Georges Seurat est un rectangle d’or. Certains éléments qui le forment sont eux- mêmes insérés dans des rectangles d’or, comme le montrent les lignes blanches ci-dessus.

Intéressons-nous maintenant à la discipline reine des arts appliqués,
l’architecture. S’il ne fait aucun doute que la proportion d’or recèle une notion
d’harmonie à caractère universel, nous devrions aussi la retrouver dans les tracés
géométriques sous-jacents aux édifices et aux constructions. En est-il ainsi ? Une
fois de plus, il est risqué de l’affirmer de façon catégorique. À la manière d’une
dame coquette qui prendrait plaisir à voiler ses charmes, le ratio d’or laisse sentir sa
présence dans beaucoup de grandes oeuvres architecturales de toutes les époques,
comme la Grande pyramide ou quelques-unes des cathédrales françaises parmi
les plus remarquables, sans pour autant se révéler totalement. Cependant, il est
difficile de rester sceptique à l’examen détaillé de la façade de l’oeuvre majeure de
Phidias : le Parthénon. On découvre avec ravissement que les divers éléments qui
la composent se déclinent en autant de rectangles d’or.

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Le secret des roses

Le choix du nombre d’or comme étalon de mesure d’un modèle idéal de beauté n’est pas uniquement un caprice humain. Même la nature semble conférer à $\phi$ un rôle spécial quand il s’agit de « choisir » une forme plutôt qu’une autre. Pour s’en apercevoir, il faut approfondir un peu plus les propriétés du nombre d’or.
Prenons notre rectangle d’or comme point de départ. Retirons un carré dont le côté est égal à la largeur du rectangle. Nous obtiendrons ainsi un nouveau rectangle d’or, de taille plus petite. Si nous répétons le processus plusieurs fois, nous obtiendrons la figure suivante :



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Traçons maintenant des quarts de cercle dont le rayon est égal au côté de chacun des carrés de la figure précédente, avec pour centre leur sommet respectif. Nous aurons ainsi la figure suivante :



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Cette courbe sinueuse est une bonne approximation d’une courbe appelée spirale logarithmique. Loin d’être une simple curiosité mathématique, elle peut s’observer très facilement dans notre environnement, (même si toutes ne sont pas reliées au nombre d’or) de la coquille d’un escargot...



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... à la forme des bras des galaxies...


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[...]

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Sommaire du livre

Pour aller plus loin

Voici quelques articles sur ce sujet :

P.S. :

L’extrait proposé est choisi par le préfacier du livre : Etienne Ghys. Celui-ci répondra aux commentaires éventuels.

Crédits images

Image à la une — Manon Bucciarelli
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Commentaires sur l'article

Pour citer cet article : Fernando Corbalán, « Le Nombre d’or »Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Le-Nombre-d-or.html

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