19 juin 2015

0 commentaire — commenter cet article

Un défi par semaine

Juin 2015, 3ème défi

Ana Rechtman

Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 25 :

Dans une école, les étudiants peuvent faire du football ou du basketball. Un cinquième des étudiants qui jouent au football jouent également au basketball et un septième de ceux qui jouent au basketball jouent aussi au football. Si $110$ étudiants pratiquent un seul de ces deux sports, combien pratiquent les deux sports ?

Solution du 2ème défi de Juin :

Enoncé

La réponse est $26$ cm.

Nous voyons que les triangles $ABN$ et $MBC$ sont tous les deux rectangles.

JPEG - 18.8 ko

Nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore dans ces deux triangles :

$AB^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AN^2 = 19^2$

$BC^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2 = MC^2 = 22^2.$

En isolant $BC^2$ de la seconde équation et en le substituant dans la première, nous obtenons

$AB^2+\frac{22^2-\frac{AB^2}{4}}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2+\frac{22^2}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2+\frac{2^2\cdot 11^2}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2 = 19^2-11^2$

$AB^2 = \frac{240\cdot 16}{15}=16^2.$

Alors $BC^2=22^2-\frac{16^2}{4}=420$ et

$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{420+256}=26\,\mbox{cm}.$

P.S. :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Crédits images

Image à la une — Denis Burdin / SHUTTERSTOCK

Affiliation de l'auteur

Ana Rechtman : IRMA, Université de Strasbourg

Soyez le premier à déposer un commentaire

Pour citer cet article : Ana Rechtman, « Juin 2015, 3ème défi »Images des Mathématiques, CNRS, 2015.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Juin-2015-3eme-defi.html

Si vous avez aimé cet article, voici quelques suggestions automatiques qui pourraient vous intéresser :