1er octobre 2010

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Enseignement : le mot « mathématiques » a-t-il le même sens au lycée et ensuite ?

Charles Boubel

Maître de conférences à l'Université de Strasbourg (page web)

Sous ce titre un peu provocateur, voici un constat effectué dans une grande prépa de province. En mathématiques, les résultats des élèves ne sont presque pas liés à leurs notes de terminale. Pour moi, quelque chose ne va pas.

L’histoire se passe assez récemment dans une grande prépa [1] scientifique de province. Les enseignants trouvent que les résultats des élèves, en première année, n’ont pratiquement aucun lien avec leurs notes de terminale. Est-ce une fausse impression ? Un des enseignants veut en avoir le cœur net et réalise le rapprochement suivant. Dans un même tableau, il met en regard les moyennes de terminale des élèves des deux classes de MPSI (1re année de prépa scientifique à dominante de Mathématiques, Physique, Sciences de l’Ingénieur), et leurs moyennes de fin de première année de prépa. La première série de notes provient des dossiers fournis par chaque élève, lors des demandes d’admission dans cette prépa, en fin d’année précédente. Il s’agit de notes attribuées par les différents lycée de provenance des élèves, en grande partie des lycées de la région.

Le résultat est le suivant. En langue vivante, on observe une assez forte corrélation entre résultats de terminale et résultats de prépa : un élève bien noté en terminale est souvent encore bien noté en prépa, et un élève moins bien noté en terminale l’est souvent à nouveau en prépa. Cette corrélation existe aussi en physique, mais elle est nettement plus faible. Elle est encore plus faible en maths. J’ai visualisé ces résultats sous forme de nuages de points ; pour zoomer, cliquez sur les trois images ci-dessous (un diaporama est disponible pour passer d’un graphe à l’autre).

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Pour chaque matière, je représente les résultats de chaque étudiant par un point, placé, en abscisses, selon la moyenne de terminale, et en ordonnées, selon celle de MPSI. Meilleure est la note de terminale, plus le point est à droite, et meilleure est celle de prépa, plus il est en haut. Ainsi, si les moyennes de prépa sont fortement (et positivement) corrélées à celles de terminale, le nuage de points obtenu s’organisera le long d’une courbe croissante, depuis les moyennes basses en terminale et en prépa, en bas à gauche, jusqu’au moyennes hautes en terminale et en prépa, en haut à droite. Bien sûr, on observe aussi une grande variation due à de nombreux facteurs, et c’est tant mieux. Les points sont donc loin d’être alignés, il forment un nuage. Mais la différence est frappante entre le nuage « langue vivante », où la tendance croissante est visible, et le nuage « maths », proche d’être rond. Un nombre, dit « coefficient de détermination » (le carré du coefficient de corrélation (linéaire)) rend compte de la plus ou moins grande dépendance des moyennes en MPSI, en fonction des moyennes en terminale [2].

  • Si les points sont parfaitement alignés, il vaut 1.
  • Si le nuage est au contraire formé de points disposés au hasard, il vaut zéro [3].

Entre les deux, les valeurs proches de 1 indiquent une tendance significative vers une droite, celles proches de zéro, le contraire. J’ai par ailleurs fait apparaître sur chaque nuage sa « droite de régression linéaire » : la droite dont le nuage « se rapproche le plus ». Cette droite a d’autant plus de sens que le coefficient de détermination est important. Si elle a du sens --- si le coefficient de détermination est assez grand ---, alors sa pente indique l’intensité de la dépendance linéaire. Les trois pentes sont comparables, et significatives. Mais en langue, le coefficient de corrélation du nuage vaut 0,32, ce qui indique que la moyenne de terminale entre pour une part non primordiale, mais significative comme « facteur prédictif » de la moyenne en prépa. La droite de régression signifie quelque chose. En physique et maths, ce coefficient est trois à quatre fois plus faible : 0,12 et 0,08, vraiment petit. Cela signifie qu’il y a bien une dépendance envers les notes de terminale, (on voit à l’œil que le nuage de maths n’est tout de même pas vraiment rond), mais qu’elle n’entre que pour une faible part dans la fabrication des notes de prépa. La droite de régression a peu de sens. Par ailleurs, la pente de cette droite, en physique comme en maths, est plus faible qu’en langue : la dépendance linéaire est également de plus faible intensité.

Ce constat m’amène aux interrogations suivantes.

1. La première question est pratique et se pose abruptement aux enseignants de cette prépa : comment sélectionner intelligemment les lycéens candidats à entrer chez eux ?

2. Cette situation est-elle nouvelle ? Etait-ce déjà ainsi il y a dix ans ? vingt ? Est-elle semblable dans les autres prépas ?

3. Est-ce « normal » ? Est-ce souhaitable ?

1. Comme choisir les candidats à l’entrée en prépa ?

Dans une filière à dominante maths-physique, il faut privilégier les candidats dont l’esprit se prête à ces matières ! Or, les notes de terminale n’en sont PAS un bon indicateur. Ce premier problème pratique est une réelle difficulté pour les enseignants. C’est elle qui a poussé l’enseignant susdit à dresser le tableau que je vous présente, pour vérifier le constat, et peut-être trouver une solution (en vain). Je précise que la prépa a l’habitude des différents lycée de provenance de ses élèves. Dans le processus de classement des dossiers des candidats, les notes obtenues peuvent être bonifiées selon l’appréciation des enseignants, la position de l’élève dans sa terminale etc. En bref, un 12/20 dans tel lycée et telle très bonne classe n’a peut-être pas le même sens qu’un 12/20 dans tel autre, ou telle autre classe, et le lycée en tient compte. Ces bonifications modifient légèrement le classement d’admission. Le fichier comparatif terminale/prépa semble montrer que ces modifications sont plutôt opportunes. Mais même après ces légers aménagements, le lycée ne parvient pas à repérer, parmi tous les lycéens aux notes moyennes à bonnes, ceux qui se révèleront réellement à l’aise en maths et physique. Cela semble impossible au vu des résultats de terminale.

Un autre indicateur est le passage, ou non, en classe étoilée. En deuxième année de prépa, les élèves s’orientent à la fois selon une discipline et un niveau. Par exemple, la première année MPSI débouche sur une deuxième année MP ou PSI ; chacune de ces orientations se dédouble en une version standard et une version au programme renforcé, dites MP étoile et PSI étoile, pour les meilleurs élèves. L’expérience prouve que les élèves admis en deuxième année étoilée se répartissent assez aléatoirement, au vu de leurs résultats de terminale. Chaque année, des candidats admis en première année grâce aux derniers désistements, entrent finalement en deuxième année étoilée. L’année qui suit celle des diagrammes, parmi les 10 premiers des élèves passant en classe MP étoile, 6 étaient dans la deuxième moitié du classement à l’issue de la terminale, et 3 seulement dans le 1er quart. Le meilleur, un élève exceptionnel, est rentré dans le 3ème quart. Inversement, des élèves très bien classés à l’entrée se retrouvent perdus. Cela signifie que le lycée a refusé des candidats qui se seraient révélés à l’aise et auraient bien profité de l’enseignement. Au contraire, il a accepté beaucoup d’élèves qui ont très vite peiné. C’est dommage pour tout le monde.

2. Cette situation est-elle nouvelle ?

De quand date cette situation ? Je l’ignore. Il faudrait questionner des enseignants en prépa depuis une vingtaine d’années : avaient-ils du mal à sélectionner les entrants, il y a vingt ans ? Mes propres souvenirs de prépa datent d’un peu moins de vingt ans. J’ai le souvenir de cartes fortement rebattues par rapport à la terminale, mais pas de la situation décrite par les présents diagrammes. Ce n’est qu’un souvenir individuel. Depuis quelques décennies cependant, le lycée a beaucoup changé : massification encore accrue, réformes successives et profondes des programmes. Si la situation est nouvelle, il est probable que ces changements en sont la cause. La structure et le programme des prépas n’a pas changé autant il me semble, et surtout les changements ont été plutôt dans la direction d’une adaptation aux programmes de terminale, provenance des élèves.

Par ailleurs, une rapide discussion sur le sujet avec une enseignante d’une autre prépa de province me signale la même difficulté de sélection des candidats à l’entrée.

Au demeurant donc, j’ignore beaucoup d’éléments, il faudrait approfondir l’étude.

3. Cette situation est-elle souhaitable ?

Il est normal que les résultats de terminale ne prédisent pas ceux de prépa. Quantité de facteurs jouent : l’adaptation plus ou moins bonne de chaque élève à la nouvelle vie qu’est celle de prépa, l’effort fourni ou pas par chacun, le goût qu’il ou elle découvre pour l’enseignement proposé, la nature et l’intensité des motivations de chacun etc. Heureusement que notre avenir n’est pas écrit ! Ce qui est surprenant, c’est la quasi absence de lien statistique : sur beaucoup d’élèves, on s’attend à ce que le niveau de terminale soit un des facteurs induisant le niveau en prépa. Parmi les élèves aux notes de lycée moyennes à bonnes, ce n’est presque pas le cas. C’est donc que les capacités sollicitées ne sont pas les mêmes : dit brutalement, « les maths » en terminale et « les maths » en prépa [4] sont deux choses étrangères.

Est-ce normal ? Voici un souvenir et un avis personnels. Ma première année d’enseignement supérieur a été pour moi la découverte des mathématiques. En physique, rien de tel : j’avais affaire à une version musclée de la physique de terminale. C’étaient les mêmes types de questionnement, la même démarche théorique et expérimentale, mais plus exigeante, plus technique, plus générale. En maths, la différence n’était pas de degré, mais de nature. Je n’avais jamais rien fait de tel en lycée. C’est comme si j’étais, par exemple, entré en fac de droit. En un mot peut-être, le cours définissait pour la première fois, clairement et patiemment, les notions introduites : un nombre, entier ou pas, une droite, une fonction continue etc. Cela change tout car permet la construction systématique d’un édifice, par démonstrations successives [5]. Cela ouvre aussi le questionnement : comme on sait de quoi on parle, on peut s’interroger de façon bien plus autonome et plus profonde. Or, les grandes affaires sont le questionnement et la démonstration.

Un telle construction systématique, aussi rigoureuse que possible, ne me semble ni possible ni souhaitable à proposer aux lycéens français d’aujourd’hui. Je pense donc que la différence de nature entre maths du lycée et maths du supérieur est nécessaire.

En revanche, mon avis est que les maths de terminale, même profondément différentes des maths du supérieur, doivent avoir quelque chose de commun avec elles dans leur esprit, dans le type de capacités sollicitées et développées chez les élèves. La ténuité des liens entre résultats en terminale et en prépa semble montrer que c’est peu le cas. L’est-ce effectivement ? Je l’ignore. Mais si oui, alors les maths de terminale sont-elles partiellement dénaturées ?

Ce ne serait ni « normal » ni souhaitable. Tenons pour cohérentes les décisions des pouvoirs publics : si les mathématiques sont enseignées au lycée, c’est que ces pouvoirs estiment qu’elles ont un intérêt. Pourquoi alors les dénaturer ?

Une hypothèse

En clair, ce que craint un prof de cette prépa que j’ai rencontré, c’est que les maths de terminale consistent trop à apprendre et appliquer correctement des recettes. Si c’est le cas, les maths sont effectivement dénaturées, et je crains qu’on ne fasse perdre leur temps aux élèves : apprendre des recettes n’a pas d’intérêt en soi.

Je nuance immédiatement : maîtriser des recettes fait partie des maths. Il est techniquement nécessaire et pédagogiquement bon d’en apprendre : leur manipulation familiarise, par la pratique, avec les concepts abstraits des mathématiques. Souvent, elle est nécessaire à cette familiarité, pour un lycéen comme pour un chercheur. Par ailleurs, une recette est rassurante, c’est psychologiquement important. On peut s’y raccrocher, et un examen testant ce type d’apprentissage est payant si on fournit l’effort nécessaire.

Mais les maths ne se réduisent pas à la maîtrise de recettes. Je crains que les diagrammes de ce billet ne révèlent précisément ceci : une trop grande telle réduction, en terminale du moins [6]. Si c’est le cas, alors :

  • On trompe les élèves, en leur faisant croire qu’ils apprennent des maths. C’est problématique car cela peut induire de mauvais choix d’orientation, dans un sens comme dans l’autre.
  • On fait perdre leur temps aux élèves. Une recette, cela s’oublie. Une recette de maths de terminale, c’est peu utile dans la vie. En revanche, un certain type de raisonnement logique, pratiqué à l’occasion des recettes, cela peut être un acquis durable. Et cela peut être utile dans la vie.
    Une personne travaillant dans l’administration après un parcours prépa-grande école, et n’utilisant plus de maths du tout dans sa vie professionnelle, me décrivait ainsi ce qu’elle avait acquis dans ses cours de maths : des réflexes de logique, la compréhension de la signification de différents chiffres qu’elle peut manipuler, de leurs rapports entre eux. Le reste est oublié mais cela, qui subsiste, lui est concrètement utile dans son métier [7]. Au contraire, elle côtoie des collègues beaucoup moins à l’aise sur ce plan, ce qui les handicape.
    Au delà de l’utilité, on prive les élèves de la véritable découverte d’une discipline, de sa démarche et son exigence propre, de sa beauté. C’est pourtant ce type de découverte qui est formateur, qu’il s’agisse de maths, de musique ou de cuisine. Quelle peur pousserait-t-elle à dénaturer la discipline, quand il s’agit de maths ?

Je souligne notamment que les notes de terminale ne semblent annoncer celles de prépa ni dans un sens, ni dans l’autre : de bons élèves de terminale se retrouvent nettement plus faibles dans le supérieur, et des élèves très moyens se révèlent doués. Faire vraiment rencontrer les maths aux élèves n’est donc en rien synonyme d’envoi des classes au casse-pipe ! C’est simplement leur faire rencontrer la discipline, de façon adaptée au public en jeu, mais sans la trahir.

Bien sûr, une chose sont les notes, une autre ce qui se passe réellement en cours, et ce que les enseignants de lycée transmettent. Je n’oublie également pas le caractère douloureux qu’ont les maths pour certains élèves, difficulté propre de l’enseignement des maths. Elle est évoquée par ce précédent billet [8]. On doit je pense la garder toujours à l’esprit quand on enseigne les maths ou qu’on réfléchit à cet enseignement. Il demeure que, pour moi, les diagrammes de ce billet montrent un dysfonctionnement dans les maths de terminale, telles qu’organisées par l’Education Nationale. Cette appréciation, ainsi que l’hypothèse lancée sur la cause, sont-elles pertinentes ? Peut-être les lecteurs, de leurs points de vue divers, pourront-ils apporter des éléments.

Notes

[1prépa : Classe Préparatoire aux Grandes Ecoles.

[2Pas tout à fait : il est d’autant plus grand que la variabilité des moyennes en MPSI, autour de la moyenne de classe, est linéairement corrélée à la variabilité des moyennes en terminale, autour de la moyenne de classe. Par exemple, il peut être grand même si la droite de régression linéaire est presque horizontale.

[3Pour être rigoureux, signalons que la réciproque est fausse : s’il vaut zéro, cela ne signifie pas que les points sont disposés au hasard. Cela signifie seulement qu’ils ne sont pas « linéairement corrélés ». Je ne veux pas entrer dans ces détails. Ici, Un regard sur les nuages montre qu’il y a de toute façon peu de lien entre les moyennes de prépa et de terminale, que le lien soit linéaire ou pas. Le coefficient de détermination quantifie alors correctement cette absence de lien, quasi-totale en maths.

[4En prépa ou à l’université, c’est indifférent. Ce billet observe la prépa pour une raison technique : seule une prépa connaît les notes de terminale de ses élèves et permet donc de fonder le constat sur autre chose qu’une impression.

[5bien sûr, des objets non définis se trouvent à la racine de l’arbre, mais ils sont repérés et assumés en tant que tels.

[6Le lycée dont je parle constate aussi qu’il y a un peu moins d’aléa dans l’admission des élèves des « grands » lycées de la capitale régionale que dans les autres. Ainsi par exemple, leur meilleur élève actuel était lycéen d’une petite ville, mal classé dans sa terminale. Cela signifie que l’explication que je lance ici est, non seulement peut-être fausse, mais aussi de toute façon insuffisante. La question est plus complexe.

[7Voici un parallèle avec une autre matière. J’ai vu hier un court-métrage remarquable sur le travail d’un thésard de biologie. Ce film commençait par un souvenir qui avait marqué ce thésard. En quatrième, en biologie, l’enseignante avait introduit les travaux pratiques sur des grenouilles et autres animaux par les mots : « Tout ce que vous allez voir maintenant, vous l’oublierez. Mais je vais vous apprendre à observer. » Qu’enseignent aujourd’hui aux élèves les mathématiques, qu’ils n’oublieront pas ?

[8qui me donne l’occasion de rendre moi aussi mon modeste hommage à son auteur, Michelle Schatzman, récemment disparue.

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Pour citer cet article : Charles Boubel, « Enseignement : le mot « mathématiques » a-t-il le même sens au lycée et ensuite ? »Images des Mathématiques, CNRS, 2010.

En ligne, URL : http://images.math.cnrs.fr/Enseignement-le-mot-mathematiques.html

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